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三次函數(shù)的性質(zhì)以及在高考中的應(yīng)用舉例,高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料
巧用代換法解題高一、高二、高三·‘“〈《「『【〔〖［｛?¨·ˇˉ—‖’”…∶、�！ā�〉》」』】〕〗�。ⅲ�，：；？］｀｜｝～。。樣式樣式樣式、、、■例，、表格網(wǎng)格型
三次函數(shù)的性質(zhì)以及在高考中的應(yīng)用

三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個(gè)重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨(dú)命題。年高考，在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現(xiàn)了這個(gè)函數(shù)的單獨(dú)命題，特別是湖北卷以壓軸題的形式出現(xiàn)，更應(yīng)該引起我們的重視。單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性最能反映這個(gè)函數(shù)的特性。下面我們就來(lái)探討一下它的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性以及圖象變化規(guī)律。
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為。我們不妨把方程稱(chēng)為原函數(shù)的導(dǎo)方程，其判別式。若，設(shè)其兩根為，則可得到以下性質(zhì)：
性質(zhì)：函數(shù)，
若，當(dāng)時(shí)，＝是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，其單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
若，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，其單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是。
證明略
推論：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不存在極大值和極小值；當(dāng)時(shí)，有極大值、極小值。
根據(jù)和的不同情況，其圖象特征分別為：

圖
性質(zhì)：函數(shù)若，且，則：
；
。
證明略
性質(zhì)：函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心是。
證明：設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，。
按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)，所以

化簡(jiǎn)虻茫?br>上式對(duì)恒成立，故
，得
，
。
所以，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是。
可見(jiàn)，＝圖象的對(duì)稱(chēng)中心在導(dǎo)函數(shù)＝的對(duì)稱(chēng)軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)。
下面僅選一些年高考中出現(xiàn)的部分試題，讓我們來(lái)體會(huì)一下如何應(yīng)用這些性質(zhì)快速、準(zhǔn)確地解答問(wèn)題。
例浙江設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則＝的圖象最有可能是

圖

圖
解：根據(jù)圖象特征，不妨設(shè)是三次函數(shù)。則的圖象給出了如下信息：
①；
②導(dǎo)方程兩根是，，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是；
③在，上；在－，或，上。
由①和性質(zhì)可排除、；由③和性質(zhì)確定選。

例江蘇函數(shù)在閉區(qū)間－，上的最大值、最小值分別是
，－，－
，－，－
解：函數(shù)的導(dǎo)方程是，兩根為和－，由性質(zhì)得：
，
。
故選。

例天津已知函數(shù)在＝±處取得極值。
討論和－是函數(shù)的極大值還是極小值；
過(guò)點(diǎn)，作曲線(xiàn)＝的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程。
解：因?yàn)�，所以�?dǎo)方程。
因?yàn)樵冢健捞幦〉脴O值，所以，是導(dǎo)方程的兩根，
所以
解得＝，＝
所以
由推論得是的極大值；＝－是的極小值。
曲線(xiàn)方程為，點(diǎn)，不在曲線(xiàn)上。
設(shè)切點(diǎn)為
因?yàn)�，故切線(xiàn)方程為

點(diǎn)，在切線(xiàn)上，所以

解得，切點(diǎn)為－，－
故所求切線(xiàn)方程為

例湖北已知，函數(shù)的圖